隨機過程是以數學集合為索引的隨機變量集合。每個概率和隨機過程都與集合中的一個元素唯一相關。索引集是用來索引隨機變量的集合。傳統上，索引集是實線的一個子集，如自然數，這使索引集具有時間解釋。

值集中的每個隨機變量都取自同一個數學空間，稱為空間。例如，空間可以是整數、實線或 η 維歐幾里得空間。隨機過程的增量是隨機過程在兩個指數值之間的變化量，通常解釋為兩個時間點。由于隨機性，隨機過程可以有很多結果，隨機過程的一個結果被稱為檢驗函數或實現等。

一、分類

隨機過程可以有多種分類方法，例如，根據其狀態空間、索引集或對隨機變量的依賴性進行分類，而隨機過程的分類方法之一是根據索引集和狀態空間的卡入度進行分類。

當一個隨機過程用時間來表示時，如果它的索引集包含有限個或可數個元素，如有限個數集、整數集或自然數集，那么它就被稱為離散時間隨機過程。如果索引集是實線的區間，則稱其為連續時間。離散時間隨機過程和連續時間隨機過程是隨機過程的兩種類型。連續時間隨機過程需要更復雜的數學技術和知識，特別是因為索引集是不可計算的，而離散時間隨機過程被認為更容易研究。如果索引集由整數或整數子集組成，隨機過程也稱為隨機序列。

如果空間由整數或自然數組成，隨機過程稱為離散或整數隨機過程。如果空間是實線，隨機過程稱為實值隨機過程或連續空間過程。如果空間是 η 維歐幾里得空間，隨機過程稱為 η 維向量過程或 η 向量過程。

二、隨機過程的類型

任何事件的概率都取決于一系列外部因素。數學中的概率》一章探討了這些因素的數學解釋及其用于計算此類事件的概率。根據概率論，所有隨機變量的計算都是為了找到一個事件發生的確定數字。當這些隨機變量組合成一個集合時，就稱為隨機過程。隨機過程用于數學模型中，用來理解任何高度隨機行為導致的現象或系統。在這個不斷活躍和變化的世界中，這種現象隨時隨地都可能發生。

為了便于學習隨機過程，我們將其分為不同的類別。如果樣本空間由有限的數集或可數元素(如整數、自然數或任何實數)組成，則在時間上保持離散。 如果是不可數的索引集，過程就會變得更加復雜。這門課程在高年級教授。本文將討論離散時間中的隨機過程。

構成隨機過程的不同類型過程如下：

1.伯努利過程

伯努利過程是最簡單的隨機過程之一。它是一連串獨立且同分布的隨機變量(iid)，其中每個隨機變量的概率為 1 或 0，例如，1 的概率為 P，0 的概率為 1-P。這個過程類似于重復拋擲硬幣，得到正面的概率為 P，數值為 1，得到尾部的概率為 0。換句話說，伯努利過程是一系列 iid 伯努利隨機變量，其中每次拋硬幣代表一個伯努利過程。

2.隨機游走

隨機游走是一種隨機過程，通常定義為歐幾里得空間中 iid 隨機變量或隨機向量的和，即離散時間過程。不過，也有人用這個術語來指實時變化的過程，如金融學中使用的維納過程，這引起了一些混淆和批評。其他類型的隨機路徑的定義方式使其狀態空間可以是其他數學對象，如網格和群，并在各學科中得到廣泛研究和應用。

簡單隨機游走是隨機游走的一個經典例子。它是一種以整數為狀態空間的隨機離散時間過程，以伯努利過程為基礎，其中每個伯努利變量都取正值或負值。換句話說，簡單隨機游走發生在整數上，其值增加 1 的概率為 1-p，或減少 1 的概率為 1-p，因此這種隨機游走的指數集由自然數組成，而其狀態空間由整數組成。如果 p=0.5，這種隨機游走稱為非對稱隨機游走。

3.維納過程

維納過程是一個靜態隨機過程，其增量的大小獨立且呈正態分布。維納過程是以證明其數學存在性的諾伯特-維納命名的，但也被稱為布朗運動過程或簡單的布朗運動，因為它作為流體中布朗運動的模型具有重要的歷史意義。

維納過程在概率論中起著核心作用，通常被認為是最重要的隨機過程，其研究與其他隨機過程有關。它具有連續的指數集和狀態空間，因為其指數集和狀態空間分別是非負數和實數。不過，該過程也可以定義得更寬泛，使其狀態空間成為無量綱歐幾里得空間。如果每個增量的平均值為零，則稱所產生的維納或布朗運動過程為零漂移。如果兩個時間點之間的平均增量等于時間差乘以常數 μ(μ 為實數)，則所得到的隨機過程稱為漂移 μ。

幾乎可以肯定的是，維納過程的樣本軌跡在任何地方都是連續的，但在任何一點都不可微?？梢詫⑵湟暈楹唵坞S機游走的連續變體。唐斯克定理或不變性原理，也稱為中心函數極限定理，涉及其他隨機過程的數學極限，如一些標量隨機游走。

維納過程屬于幾個重要的隨機過程族，包括馬爾可夫族、萊維族和高斯族。該過程應用廣泛，是隨機微積分中的主要隨機過程。它是定量金融學的基礎，被用于 Black-Scholes-Merton 模型等模型中。該過程還被用作多個領域中各種隨機現象的數學模型，包括大多數自然科學和社會科學的一些分支。

4.泊松過程

泊松過程是一種具有不同形式和定義的隨機過程。它是一個計數過程，是一個隨機過程，代表某個時間間隔內的隨機點數或事件。過程中位于從零到給定時間間隔內的點數是一個隨機泊松變量，取決于該時間和某個參數。該過程的狀態空間由自然數組成，其索引集由非負數組成。這個過程也被稱為泊松計數過程，因為它可以被解釋為一個計數過程。

同質泊松過程是一種泊松過程，其中泊松過程由一個單一的正常數定義。同質泊松過程與馬爾可夫過程和萊維過程屬于同一類隨機過程。

同質泊松過程有多種定義和概括方法。這種隨機過程也被稱為靜止泊松過程，因為它的指數集是一條實線。如果把泊松過程的常數參數換成非負積分函數 t，那么得到的過程就稱為非均質或非均質泊松過程，因為過程中各點的平均密度不再是常數。泊松過程是排隊論中的一個基本過程，也是數學模型中的一個重要過程，它被用來模擬在一定時間窗口內隨機發生的事件。

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