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樸茨茅斯大學常微分方程課程輔導

作者：海馬發布時間：2024-09-03 14:16:50

常微分方程包含未知函數的導數。常微分方程是一個關于變量的方程，并且有因變量關于自變量的導數。常微分方程有兩種類型，即齊次微分方程和非齊次微分方程。點擊藍字可以直接獲取專業的常微分方程課程輔導。

讓我們進一步了解常微分方程，以及確定其階數、次數和求解的過程。

一、什么是常微分方程?

常微分方程(ODE)是一個帶有常導數(而非偏導數)的方程。微分方程是一個關于變量的方程，并且有因變量關于自變量的導數。一個微分方程至少包含一個未知函數的導數，要么是常導數要么是偏導數。特別地，常微分方程具有常導數。在這里，常微分方程通常簡稱為微分方程。

在這些常微分方程中使用的導數符號為 dy/dx = y'，d²y/dx² = y''，d³y/dx³ = y'''，d?y/dx? = y?。常微分方程的一些例子如下。

(dy/dx) = sin x;

(d²y/dx²)+k²y = 0;

(d²y/dt²)+(d²x/dt²) = x;

(d³y/dx³)+x (dy/dx)-4xy = 0;

(rdr/dθ)+cosθ = 5.

二、常微分方程

常微分方程的階數和次數

常微分方程的兩個重要方面是方程的階數和次數。讓我們詳細了解一下。

1.常微分方程的階數

微分方程的階數是因變量關于自變量的最高階導數的階數。考慮以下微分方程：dy/dx = e?，(d?y/dx?)+y = 0.(d³y/dx³)+x²(d²y/dx²)=0.在這些微分方程中，最高階導數分別是一階、四階和三階，因此它們的階數分別是 1、4 和 3.

一階微分方程：一階微分方程的階數等于 1.所有以導數形式表示的線性方程都是一階的。它只有一階導數，如 dy/dx，其中 x 和 y 是兩個變量，表示為：dy/dx = f (x,y)=y'。

二階微分方程：包含二階導數的方程是二階微分方程。表示為：d/dx (dy/dx)=d²y/dx²=f”(x)=y”。

2.常微分方程的次數

如果一個微分方程可以表示為多項式形式，那么出現的最高階導數的整數冪稱為該微分方程的次數。微分方程的次數是方程中最高階導數的冪。為了確定微分方程的次數，我們需要每個導數的指數都是正整數。例如：(d?y/dx?)³+4 (dy/dx)?+6y = 5cos3x，這里微分方程的階數是 4.次數是 3.微分方程的階數和次數總是正整數。此外，如果一個微分方程不能表示為以最高階導數為首項的多項式方程，那么該微分方程的次數就沒有定義。

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