復數分析是數學的經典分支之一，主要分析復數及其函數、極限、導數、操作和其他數學性質。復數分析是一種強有力的工具，在解決物理問題方面有著突飛猛進的實際應用。美國碩士聽不懂課程怎么辦?讓我們在此逐一了解復數分析的各個組成部分。

一、復數

形式為 x + iy，其中 x、y 為實數，且 i² = -1，被稱為復數。

換句話說，z = x + iy 是一個復數，其中 z 的實部為 x，表示為 Re(z)，虛部為 iy，表示為 I(z)。

二、復數的模和幅角

復數 z = x + iy 的模是實數 √(x² + y²)，表示為 |z|。

復數 z = x + iy 的幅角或參數由以下公式給出：

arg(z) = θ = tan?¹(y/x)，其中 x、y ≠ 0。

同時，當 arg(z) 滿足不等式 -π < θ ≤ π 時，arg(z) 稱為主要參數，表示為 Arg(z)。

三、復雜函數

在復分析中，復雜函數是從復數到復數的函數。或者，它是一個將復數的子集作為定義域，復數作為值域的函數。數學上，我們可以將復雜函數的定義表示為：

一個函數 f : C → C 被稱為一個復雜函數，可以寫成

w = f(z)，其中 z ∈ C，w ∈ Z。

同時，z = x + iy，w = u + iv，其中 u = u(x, y)，v = v(x, y)。這意味著 u 和 v 是 x 和 y 的函數。

四、復雜函數的極限

假設 w = f(z) 是 z 的任何函數，在有界閉區域 D 中定義。那么隨著 z 接近 z0，f(z) 的極限用 “l” 表示，寫作

lim z→z0 f(z) = l，

即對于每個 ? > 0，存在 δ > 0，使得當 |z - z0| < δ 時，|f(z) - l| < ?，其中 ? 和 δ 是任意小的正實數。這里，l 是 f(z) 在 z → z0 時的極限。

五、復雜函數的連續性

讓我們了解復分析中的復雜函數連續性是什么。

一個在有界閉區域 D 中定義的復雜函數 w = f(z)，在點 Z0 處連續，如果 f(z0) 被定義

lim z→z0 f(z) 存在且

lim z→z0 f(z) = f(z0)。

六、復雜微分

復雜微分的一些標準結果列于下文：

dc/dz = 0;這里 c 是復常數

d/dz (f ± g) = (df/dz) ± (dg/dz)

d/dz [c.f(z)] = c . (df/dz)

d/dz zn = nzn-1

d/dz (f.g) = f (dg/dz) + g (df/dz)

d/dz (f/g) = [g (df/dz) - f (dg/dz)]/ g²

所有這些公式都用于解決復分析中的各種問題。

七、解析函數

如果一個函數 f(z) 在點 z0 處不僅在 z 處可導，而且在 z0 的某個鄰域中的每一點也可導，則稱函數 f(z) 在點 z0 處是解析的。解析函數也稱為正則、全純或單基函數。

八、諧函數

如果函數 u(x, y) 滿足拉普拉斯方程，則稱其為諧函數。另外，分析函數的實部和虛部也是諧函數。

九、復積分

假設 f(z) 是在域 D 中定義的復變量函數，而 "c" 是域 D 中的閉合曲線。

這里，z = x + iy

f(z) = u + iv，而 dz = dx + i dy

∫c f(z) dz = ∫c (u + iv) dz

= ∫c (u + iv) (dx + idy)

= ∫c (udx - vdy) +i ∫c (udy + vdx)

這里，∫c f(z) dz 稱為曲線積分。

十、柯西積分定理

如果 f(z) 在一個單連通區域 R 中是解析函數，則對于包含在 R 中的每個閉合輪廓 c，有 ∫c f(z) dz = 0。

逆命題：

如果函數 f(z) 在整個簡單連通區域 D 中連續，并且對于 D 中的每個閉合輪廓 c 都有 ∫c f

(z) dz = 0，則 f(z) 在 D 中是解析的。

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