抽象代數是一個廣泛的數學領域，涉及代數結構，如群、環、向量空間和矩陣。粗略地說，抽象代數是研究當數系的某些屬性被抽象出來時會發生什么;例如，改變基本算術運算的定義會產生一種被稱為環的結構，只要運算是一致的。

一、抽象代數中的抽象層次

有可能抽象出 "常規 "數系中的幾乎所有屬性，其代價是所產生的對象--被稱為巖漿(由一個集合和一個二元運算組成，不需要滿足除閉合之外的任何屬性)--太籠統而無趣。在另一個極端，有可能抽象出幾乎沒有任何屬性，這允許找到許多結果，但所產生的對象(通常的數字系統)太具體，無法解決更普遍的問題。

大多數抽象代數致力于在通用性和結構之間取得合理平衡的對象，最明顯的是群和環(下文將詳細討論)，其中大部分算術的基本屬性被保留下來，但它們的具體內容被自由保留。盡管如此，一些更高層次的抽象偶爾也是有用的;例如，類群與拉丁方塊有關，單體經常用于計算機科學，是類別的簡單例子。

二、集團理論

群理論作為一個抽象的對稱性概念是很有用的，這使它適用于廣泛的領域：多項式的根之間的關系(如伽羅瓦理論)和魔方的解法都是突出的例子。

非正式地講，群是一個配備有二元運算的集合 °，因此對群的任何兩個元素進行運算也會產生一個群的元素。例如，整數在加法下形成一個群，非零實數在乘法下形成一個群。循環運算需要滿足一些與這些 "正常 "數系類似的屬性：它應該是關聯性的(這基本上意味著運算的順序并不重要)，而且應該有一個相同的元素(上面第一個例子中是0，第二個例子中是1)。更正式地說，一個群是一個配備有操作\cdot⋅的集合，使以下公理成立;注意，\cdot⋅不一定是指乘法;相反，它應該被視為兩個變量上的函數(事實上，\cdot⋅甚至可以指加法)：

Group Axioms

1) Associativity. For any x, y, z \in Gx,y,z∈G, we have (x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z)(x⋅y)⋅z=x⋅(y⋅z).

2) Identity. There exists an e \in Ge∈G, such that e \cdot x = x \cdot e = xe⋅x=x⋅e=x for any x \in Gx∈G. We say that ee is an identity element of GG.

3) Inverse. For any x \in Gx∈G, there exists a y \in Gy∈G such that x \cdot y = e = y \cdot xx⋅y=e=y⋅x. We say that yy is an inverse of xx.

還值得注意的是閉合公理的強調，因為在處理子群(完全包含在另一個子群中的群)時，驗證閉合是很重要的：

4) Closure. For any x, y \in Gx,y∈G, x*yx∗y is also in GG.

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